• صفحه نخست
• ریاضی و موسیقی

موسیقی و صوت ، قدرت سحر انگیز ریاضیات …
در این نوشتار مختصر سعی کردیم به طور ساده و نه زیاد تخصصی ؛ به ریشه ریاضی صوت و موسیقی بپردازیم تا ببینیم که این شاخه از علم چه قدرت وصف نا پذیری در توصیف طبیعت دارد ، ابزار های قدرتمند ریاضی که سالها بعد از اختراعشان ما را در توصیف و توجیه پدیده های طبیعی یاری می کنند…
حدود سال ۱۸۰۰ ژان باپتیست فوریه مسئله سریهای مثلثاتی ( که تا قبل از این روی آن بسیار کار شده بود و به دلایلی توسط ژوزف لویی لاگرانژ و سایرین شدیدا مورد انتقاد قرار گرفته بود) را ارائه داد :

هر تابع متناوب را می توان با یک سری مثلثاتی از توابع سینوسی که فرکانسهایشان از نظر هارمونیکی مرتبط هستند نمایش داد…
اما استدلالهای ریاضی فوریه دقیق نبود ، و اشکال عمده ای که بر آن وارد بود تابع متناوبِ نا پیوسته ی موج مربعی بود ؛ چگونه ممکن بود مجموعی از توابع پیوسته سینوسی ، به یک تابع ناپیوسته همگرا شوند؟ یا توابعی که گوشه دارند ، مثل موج مثلثی . واقعا چطور ممکن است؟
ولی واقعا اینگونه هست . به هر حال دانشمندان بزرگ دیگری روی این مسئله کار کردند (که وارد جزئیات نمی شویم) و آن را تکمیل کردند تا این که امروزه سریهای مثلثاتی به نام سری های فوریه خوانده می شوند :

هر تابع متناوب (دارای شرایطی موسوم به شرایط دیریکله) را می توان با مجموع وزن دار هارمونیک های سینوسی نمایش داد…
منظور از وزن ، همان ضرییب (اندازه) تابع سینوسی است. (A sin(wt+d
A: ضریب یا وزن
w : فرکانس
d: فاز

به مجموعه ی این ضرایب ، ضرایب فوریه تابع می گویند . هر مجموعه از ضرایب فوریه ، تابعی متناوب را به طور یکتا مشخص می کند . (مگر با تغییراتی بسیار جزئی که عملا مهم نیستند.)
در سری فوریه ، یک فرکانس پایه وجود دارد که هارمونیک اصلی خوانده می شود و فرکانس سینوسی های دیگر مضارب صحیحی از این فرکانس پایه خواهند بود. بنابراین فرکانسهای موجود در یک تابع متناوب ، گسسته و همگی مضرب صحیحی از فرکانس پایه هستند ؛ که طیف فرکانسی گسسته نامیده می شود.
تا این لحظه مبحث صرفا ریاضی بود ، حال دو ساز مثل پیانو و فلوت را در نظر بگیرید:

یک نت خاص از هر دو ساز را به صدا در می آوریم، با دیرند و نواک مساوی . اگر نمودار تغییرات فشار آکوستیکی را بر حسب زمان برای دو صوت فوق رسم کنیم ، دقیقا با دو تابع متناوب مواجه می شویم.
البته رسم این نمودار شاید برای عموم مشکل باشد ؛ اما راههایی برای مشاهده هست. تغییرات فشار آکوستیکی ، با یک ترانسدیوسر (مثل میکروفون) به تغییرات یک سیگنال الکتریکی (مثل ولتاژ) بر حسب زمان تبدیل می شود ، که روی اوسیلوسکوپ قابل مشاهده است. یا ساده از آن ، نرم افزارهای ویرایش صوت مثل Cool Edit Pro هم میتوانند این سیگنالها را نمایش دهند.

گفتیم با دو تابع متناوب مواجه شدیم ، پس طبق نظریه ریاضی سری فوریه می توان این توابع را به سری فوریه بسط داد . اگر این کار را انجام دهیم ( این کار هم از طریق نرم افزار تحلیلی قدرتمندی مثل MATLAB امکان پذیر است! ) دقیقا می بینیم که فرکانس پایه و فرکانس هارمونیک های بعدی در هر دو صوت حاصل از پیانو و فلوت با هم برابرند. مثلا اگر نت A را به صدا در آوریم فرکانس اولین تابع سینوسی ۴۴۰ Hz خواهد بود و فرکانس یعدی ۸۸۰ Hz و … اما :
وزن توابع سینوسی متناظر در دو صوت فوق با هم برابر نیست ، و همین قضیه است که باعث می شود سیگنالهای زمانی که از دو صوت فوق ثبت کردیم یکسان نباشند؛ و صدای حاصل از دو صوت فوق متفاوت و قابل تشخیص باشد…

اگر در آزمایشگاه هم به عنوان مثال صوت حاصل از نت A این دو ساز را از یک فیلتر ساده پایین گذر عبور دهیم به طوری که فرکانسهای بالای ۴۴۰ Hz تضعیف و یا حذف شوند ، روی اوسکوپ فقط یک سیگنال سینوسی با فرکانس ۴۴۰ Hz مشاهده می شود.
تا کنون در مورد توابع متناوب صحبت کردیم . اما اگر تابع متناوب نباشد چطور؟

از نظر ریاضی برای توابع غیر متناوب ، مثلا توابع با عمر محدود نیز را بطه ای وجود دارد :
هر تابع نا متناوب (دارای شرایطی موسوم به شرایط دیریکله) را می توان با انتگرالی وزن دار از توابع سینوسی نمایش داد…
این نوع نمایش توابع نامتناوب را نمایش انتگرال فوریه تابع می نامند . در این حالت فرکانسها دیگر مضاربی از یک فرکانس پایه نیستند ، بلکه بینهایت به هم نزدیکند ، به همین خاطر مجموع به انتگرال تبدیل شده است. به مجموعه ی این ضرایب ، تبدیل فوریه تابع می گویند.یک تبدیل فوریه ، تابعی را به طور یکتا مشخص می کند.(مگر با تغییراتی بسیار جزئی که عملا مهم نیستند.)

بنابر این طیف فرکانسی حاصل از این توابع دیگر گسسته و دارای مقادیر مرتبط هارمونیکی نیست ، بلکه طیف پیوسته ای را از فرکانس صفر تا فر کانس بینهایت شامل می شود ، مثل طیف صدای انسان.
اگر دو فرد که از نظر محدوده صدایی مساوی هستند ( مثلا هر دو تنور هستند ) عبارتی را بخوانند ، در صدای هر دو فرد گستره پیوسته ی برابری از فرکانسها موجودند ، اما با ضرایب متفاوت ، که باعث تفاوت در سیگنال زمانی و نهایتا صدای متفاوت آن دو می شود که با گوش قابل تشخیص است… توجه می کنیم که سیگنال صدایی که در مجموع از یک ارکستر بر می خیزد متناوب نیست ، بنابر این طیف فرکانسی پیوسته ای دارد.

… و این ، مختصری از قدرت بیکران این شاخه گرانقدر از علم را به ما نشان می دهد ، واقعا بخش عمده ای از تغییرات جهان به صورت سینوسی ها و مجموع آنها هستند ، گویی تمام سیستمها و مکانیسمها اعم از طببعی مثل گوش ، یا ساخته دست بشر مثل فیلتر ها و … اصل برهم نهی ( Superposition ) را می دانند ؛ می دانند که به سینوسیها پاسخ دهند و این پاسخها را با هم جمع کنند تا پدیده هایی به وجود آیند که جهان ما را می سازند!
تنیدگی موسیقی در دل ریاضیات

سید عبدالله انوار در این نشست به بررسی تأثیرات ریاضیات، هندسه، منطق و فلسفه بر موسیقی ایرانی-اسلامی پرداخت. انوار به پایه های علم موسیقی در فلسفه اشاره کرد و گفت: «هر آنچه می خواهد خواص و عوارضش مورد بحث قرار گیرد باید دانسته شود آن خود چیست و عناصر تشکیل دهنده اش چیست. به عبارت دیگر، چیزی که عوارض آن مورد بررسی است و بر حسب اصطلاح اهل استدلال به نام «موضوع» مطرح است، ذاتش از چه ذاتیاتی به وجود آمده و این ذاتیات مجتمع، پس از اجتماع واحد چه خواص و ویژگی های دائمی یا غیردائمی دارد. چون امور با این نحوه از شناسایی مطرح می شود، در ذهن و در معرفی آن به دیگری به هیچ وجه با ابهام رو به رو نیست و آن چنان که شایسته آن است مورد شناخت قرار گرفته است و هر چه این عوارض روشن تر باشد، این شیء بهتر در دامن شناسایی قرار می گیرد.

با گسترش اسلام در مناطق مختلف، از پنجاب تا آندلس تحت لوای قرآن درآمد. آن وقت بود که کم کم مسائل عقلانی طرح شد. بدین ترتیب پرسش هایی مطرح شد و به تبع آن علومی همچون کلام، منطق، ریاضیات و فلسفه مورد توجه قرار گرفتند. در زمان مأمون عباسی در بغداد «بیت الحکمه» بر پا شد. پس، به ترتیبی که در تاریخ مسطور است، عالمانی به بیزانس فرستاده شدند و کتب ارسطو و جالینوس و بقراط و سایر یونانیان که در طریق عقل خشک منطقی قدم زده بودند، به بغداد آورده شد.»

نگاه فلسفی ارسطو به موسیقی
انوار با نگاهی به فلسفه ارسطو که به فلسفه اولی، تعلیمی و طبیعی تقسیم می شود، به تشریح این فلسفه ها و فلسفه ریاضی که همان علم تعلیمی است و موسیقی نیز شامل آن می شود، پرداخت: «فلسفه اولی، همان چیزی است که مسلمانان الهیات را در آن قرار دادند. علم تعلیمی همان فلسفه ریاضیات است که در حد واسط حکمت الهی و حکمت

طبیعی قرار می گیرد. این مبانی پس از ترجمه در دسترس مسلمانان قرار گرفت. خود فلسفه ریاضی در چهار علم به بحث گذاشته می شود: اول آن علم مجسطی است که از هیئت عالم و وضع ستارگان، یعنی نجوم و ملحقات آن بحث می کند. دوم، علم هندسه است که به وسیله اقلیدس نزد یونانیان تدوین شد و به زبان عربی دو ترجمه دارد سوم علم حساب است که به وسیله نیکوماخوس تدوین شد. این نیکوماخوس غیر از آن نیکوماخوسی است که ارسطو کتاب اخلاق خود را برای او تدوین کرد. چهارم، علم موسیقی است که هم از الحان –که همان ملودی است- بحث می کند و هم از ایقاع که آن از ضربه بر روی پوستی یا طاسی به عمل آید. عربان آن را از دو منبع گرفتند: یکی از منابع یونانی، خاصه از فیثاغورسیان و

دیگر از کشورهای هند و ایران و همسایگان. و کتاب ممتع آن، که امروز هم در دست ماست، همان «الموسیقی الکبیر» است که به دست فارابی تدوین شده است. در نزد قدما، موسیقی از دو وجه مورد توجه بوده است: یکی از جنبه علمی و نوازندگی که با تمرین فراوان، ‌شاگرد در این جنبه استاد فن می شود و از نواختن تعلیم می گیرد، و دیگر از جنبه نظری. در این جنبه موسیقی به دو بخش اصلی تقسیم می شود: یکی بخش ملودی و الحان است و دیگری بخش ایقاع که از ریتم ها بحث می کند و بر حسب آن در نواختن دف و دایره و تنبک و سایر سازهای کوبه ای (که در آن کوبش مطرح است) ریتم ها به کار می رود و امروزه سازهای آن به نام سازهای کوبه ای مشهورند.

در قسمت ملودی چون موسیقی دان ها از بعد استفاده می کردند و بعد نسبت بین صدای دو نغمه بود، لذا این بعد نسبت بین دو عدد را به ما می داد؛ یعنی نسبت «آ» به «ب» که ترکیب این نسبت ها برای بیان آهنگ، یک سلسله محاسبات پیچیده را وارد موسیقی کرد.»

نغمه و نقره در سازهای زهی و کوبه ای
عبدالله انوار در ادامه بحث، به نغمه در موسیقی و تأثیر ریاضیات بر ایجاد نغمه اشاره کرد: «در موسیقی باید توجه داشته باشیم که بحث ما نغمه است و اول اینکه نغمات باید در توالی هم باشند. البته آمدن نغمه ها پشت سر هم گاهی متنافر است و گاهی نامتنافر و موسیقی دان کارش این است که توالی نغمات را جوری برقرار کند که در گوش خوش بیاید. اگر شما بی نهایت نغمه داشته باشید که درنگ در همه آنها یکسان باشد، این موسیقی نیست، بلکه یک توالی واحد است. موسیقی از نغماتی بحث می کند که هم در صوت و هم در

درنگ با هم اختلاف دارند. بنابر آنچه گفته شد، موسیقی ما دو تقسیم دارد: باب ایقاع که بر اثر کوبش بر سازهای کوبه ای حاصل می شود و دیگری باب ملودی یا الحان که بر اثر زخمه بر ساز زهی ایجاد می شود. اما به هر روی چه در کوبش و چه در زخمه زدن باید همواره صوت با درنگ زمانی‌ همراه باشد. در کوبش ها که قدما به جای نغمه به آن «نقره» می گفتند، این نقرات هم باید اولاً تولید صدا کنند و ثانیاً باید با زمان درنگ همراه باشند تا در گوش، صوت موسیقی به حساب آیند. برای اندازه گیری نقرات هم می توان از خود نقرات استفاده کرد. توالی های بین نقرات بسیار مهم است و باید فاصله بین دو نقره خیلی زیاد و یا خیلی هم کوتاه نباشد. گاهی فاصله بین دو نقره تا آخر ملودی یکسان است که آن را «متساوی الحرز» گویند و گاهی فاصله زمانی بین دو نقره در ملودی یکسان نیست که ‌آن را «نقرات متفاضل» می گویند.

اما ما در موسیقی تنها به کوبش ها نمی پردازیم، بلکه از اصواتی هم صحبت می کنیم که از نواختن پدید می آیند؛ از دمیدن در نی یا نهادن انگشتی بر تاری. این بخش از موسیقی که از این گونه اصوات بحث می کند، در قدیم به نام «لحنیات» معروف بوده است که امروزه به آن ملودی می گویند.

ملودی در واقع ‌نغمه ای است که بر اثر زخمه بر زهی ایجاد می شود که باید این صوت با درنگ زمانی همراه باشد، والا از بحث موسیقی خارج می شود.
حالا برگردیم به اصل بحث اینکه ریاضی چه نقشی در موسیقی داشته است. موسیقی دانان قدیم برای پیاده کردن نغمات از سازی زهی به نام «عود» استفاده کردند، چرا که عود مورد اجماع موسیقی دانان قدیم بود. عود پنج سیم دارد سوار بر پیکره ای که انتهای آن یک کاسه است، با یک دسته. در این گونه آلات موسیقی زهی به دو گونه صوت ایجاد می شود: یکی اینکه زخمه به سیم بزنید و آزاد کنید که به آن صوت مطلق گویند و دوم اینکه زخمه ای به سیم بزنید و بعد انگشت را آزاد نکنید و بر آن بگذارید که صوت حاصل از این نوع دوم متفاوت

با صوت مطلق است. بعد طول دسته را به ۹ قسمت مساوی تقسیم کردند و روی هر کدام یک نوار بستند. اندازه گیری در لحنیات با طول دسته پیدا شد. بعدها به نتایج دیگری رسیدند، مثلاً اینکه اگر دست روی ۹/۸ گذاشته شود، صوت مطبوع می شود. و این گونه بود که موسیقی دانان نسبت را وارد موسیقی کردند. نسبت در موسیقی حاصل تقسیم دو نغمه است و نسبت اساس ریاضی موسیقی است. نسبتی هست به نام ذوالکل که نسبتی است با صورت ۲ و مخرج یک. این نسبت با همان یک اکتاو امروز ما مطابقت دارد؛ یعنی بیان ۸ نغمه را می کند که امروزه با دو، رِ، می، فا، سل، لا، سی، دو معین می شود.

اما بحث زیبایی نغمات در گوش بحث مهمی است. اجماع موسیقی دان ها گفته اند که گوش ها در تشخیص صوت مطبوع و نامطبوع مثل هم نیستند. فارابی گفته است که موسیقی‌ای که من بحث می کنم در این منطقه جغرافیایی است و این اصوات در این منطقه برای گوش ملایم است و برای هر منطقه ای مطبوعیت جداگانه ای دارد.»

“تمامی محتوا مندرج در سایت متعلق به رسانه ریتم آهنگ می باشد و هرگونه کپی برداری با ذکر منبع بلامانع است.”